解二元一次不定方程的技能

指求方程ax+by=c(a,b,c为整数,a≠0,b≠0)(1)整数解的技能。它是求解客观实际中广泛存在的整数集的数量关系问题的重要技能。
解二元一次不定方程技能训练的基本要求是:①熟练掌握有解的判别法和一切解的形式:当(a,b)=d×fc时,不定方程(1)无整数解;当(a,b)=d|c时,不定方程组(1)有无穷多整数解,若x₀,y₀是它的任一整数解,则不定方程的一切整数解可以表为:
x=x₀-bt y=y₀+at
其中t是一切整数。②懂得解不定方程(1)的关键,就是求得它的任一整数解x₀,y₀。并能按下列顺序考虑求解:第一,当a、b比较简单时,可用观察法得到x₀,y₀。第二,当a|c时,则令y₀＝0,即得x₀＝c/a;同样b|c时,令x₀＝0,则y₀＝c/b。第三,利用把两个整数的最大公约数表为这两数的倍数和。若d=(a,b),c=c₁d,那么存在整数u,v,使au+bv=d,于是
a(C₁u)+b(c₁v)=c₁d即a (c₁u)+b(c₁v)=c,得x₀＝c₁u,y₀＝c₁v是不定方程(1)的一整数解。③对于如上的u,v会用对a,b作辗转相除得到:

r_n＝d=(a,b),从倒数第2式起,用自下而上逐次代入的办法,消去r_n-1,r_n-2,…r₁,最后即得等式au+bv=d。④也会用以下递推公式求得上面的u,v:

求p_n,Q_n的具体操作会用列表法或矩阵法:
列表法,由a,b辗转相除求出q₁,q₂,…q_n,然后列下表,按箭头所指方向运算,即得p_n,Q_n,
矩阵法,利用如下二阶矩阵的乘法,由q₁,q₂,…q_n,求得p_n,Q_n。

⑤能够用逐步减小系数法求解。懂得如何引入辅助末知数,逐步缩小未知数系数的绝对值,直到能用观察法观察出一解为止。

k	0	1	2	…	k-2	k-1	k	…	n
qk		q1	q2	…	qk-2	qk-1	qk	…	qn
Pk			P2	…			Pk	…	Pn
Qk			Q2	…			Qk	…	Qn

例:求解不定方程37x-107y=25
解:x的系数的绝对值较小,选x解之:

得u=31,y=34,x=99,不定方程的一解为x₀＝99,y₀＝34,其一切解为:
s=99+107t,y=34+37t(t为一切整数)
解二元一次不定方程技能训练中要注意的是,由于所求的特解x₀,y₀的不同,不定方程一切解的形式会有不同,不过作为一切解的集合,应是相等的。对此应注意判别。

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